Kontinuität (Massenerhaltung)

Kontinuität / Massenerhaltung

Die Kontinuitätsgleichung beschreibt die Massenerhaltung in einer Strömung: was an einer Stelle hineinströmt, muss an einer anderen wieder herauskommen.

Allgemeine Form (kompressibel)

Für einen Strömungskanal mit Querschnitt A und mittlerer Geschwindigkeit v:

ρ₁ · A₁ · v₁ = ρ₂ · A₂ · v₂

mit ρ = Dichte. Produkt ρ·A·v = Massenstrom (kg/s) ist konstant entlang des Kanals.

Inkompressibel (PPL-Relevanz)

Bei niedrigen Geschwindigkeiten (Mach < 0,3) ist ρ ≈ konstant:

A₁ · v₁ = A₂ · v₂

oder A · v = konstant entlang des Kanals.

→ Bei Verengung (A klein) beschleunigt die Strömung (v groß). → Bei Erweiterung (A groß) verlangsamt die Strömung (v klein).

Anwendung Venturi

Im Venturi-Rohr (konvergent → divergent) beschleunigt die Strömung am engsten Punkt — und nach Bernoulli sinkt dort der statische Druck p. Diese Druck­absenkung wird genutzt:

• Vergaser-Brennstoff­ansaugung.
• Vakuum-Anlage für Kreisel-Instrumente.
• Geschwindigkeits­messung (Venturi-Anemometer historisch).

Anwendung Tragflügel

Über dem gewölbten Oberprofil divergieren die Stromlinien zunächst kaum (gekrümmtes Profil zwingt die Strömung in engere Bahnen) → Beschleunigung über Bernoulli/Continuum.

Kontinuität und Bernoulli wirken zusammen:

1. Kontinuität: Strömung beschleunigt, weil Querschnitt verengt.
2. Bernoulli: schnellere Strömung = niedriger p.
3. Auftrieb entsteht aus Druckdifferenz.

Grenzen

• Inkompressibel-Annahme gilt nur bei M < 0,3. Bei höheren Mach-Zahlen muss die kompressible Form benutzt werden (ρ variiert).
• Stationär angenommen — instationäre Strömungen erfordern Erweiterung.

Massenerhaltung — Beispielrechnung

Im Venturi-Rohr: Einlauf A₁ = 100 cm², Strömungs­geschwindigkeit v₁ = 5 m/s. Verengung auf A₂ = 25 cm².

v₂ = (A₁/A₂) × v₁ = (100/25) × 5 = 20 m/s.

Geschwindigkeit hat sich vervierfacht. Mit Bernoulli folgt Druck­absenkung:

p₂ = p₁ − ½ρ(v₂² − v₁²) = p₁ − ½×1,225×(400 − 25) ≈ p₁ − 230 Pa.